Géométrie analytique

La géométrie analytique est un domaine d'étude des figures géométriques dans le plan cartésien ou encore dans le plan en trois dimensions, au moyen de calculs algébriques, d'un système de coordonnées et de représentations graphiques.
La géométrie analytique est la branche de la géométrie qui fait le pont entre celle-ci et l'algèbre et qui permet de représenter des objets géométriques à l’aide d’équations et d’inéquations. Elle implique donc de travailler à l'aide de représentations dans un plan cartésien.

La géométrie analytique fait l'étude des points et des droites situés dans un plan cartésien et des transformations géométriques qu'il est possible d'y produire. Elle permet aussi d'étudier des équations produites lorsqu'un plan coupe une surface conique. Finalement, par la trigonométrie, la géométrie analytique détermine la position d'un point sur un cercle en fonction de son angle au centre.

Le plan cartésien

Le plan cartésien est une surface plane définie par l'intersection deux droites numériques perpendiculaires.

Ce système permet entre autres de repérer des points dans le plan et de représenter une relation entre deux variables.

• La composition d'un plan cartésien
• L'axe horizontal
• L'axe vertical
• L'origine
• Les quadrants
• L'abscisse et l'ordonnée à l'origine
• Le repérage dans le plan cartésien
• Exerciseur sur le plan cartésien

La composition d'un plan cartésien

Un plan cartésien se compose de plusieurs caractéristique:

$\bullet$ Le plan cartésien est d'abord défini par 2 axes perpendiculaires: l'axe des abscisses (les $x$) qui est horizontal et l'axe des ordonnées (les $y$) qui est vertical.

$\bullet$ Les deux axes se croisent à l'origine, c'est-à-dire au point $(0,0)$.

$\bullet$ Le plan cartésien est alors divisé en 4 sections que l'on nomme les quadrants.

L'axe horizontal

L'axe horizontal d'un plan cartésien se nomme l'axe des abscisses, ou l'axe des $x$.  Cet axe gradué est orienté de la gauche vers la droite dans le plan cartésien. On y indique la valeur de la variable indépendante dans une relation entre deux variables.

Sur l'axe horizontal:

1. À la droite de l'origine (du zéro), les nombres sont positifs. 
2. À la gauche de l'origine (du zéro), les nombres sont négatifs.

L'axe vertical

L'axe vertical d'un plan cartésien se nomme l'axe des ordonnées, ou l'axe des $y$. Cet axe gradué est orienté du bas vers le haut du plan cartésien. On y indique la valeur de la variable dépendante dans une relation entre deux variables.

Sur l'axe vertical:

1. En haut de l'origine (du zéro), les nombres sont positifs.
2. En bas de l'origine (du zéro), les nombres sont négatifs.

L'origine

L'origine du plan cartésien est l'endroit où les droites numériques perpendiculaires se croisent. Elle se note par le couple $(0,0)$.

Les quadrants

Les quadrants correspondent aux 4 régions délimitées par les axes. Les quatre quadrants sont numérotés dans le sens antihoraire comme dans le plan cartésien suivant.

L'abscisse et l'ordonnée à l'origine

L’abscisse à l’origine est la valeur de l'abscisse (le $x$) lorsque l'ordonnée (le $y$) vaut zéro. Autrement dit, c'est l'endroit sur le graphique où la droite croise l'axe des abscisses.

L’ordonnée à l’origine est la valeur de l'ordonnée (le $y$) lorsque l'abscisse (le $x$) vaut zéro. Autrement dit, c'est l'endroit sur le graphique où la droite croise l'axe des ordonnées.

Le repérage dans le plan cartésien

La graduation des axes du plan cartésien permet de situer des points dans l'un ou l'autre des 4 quadrants. La position d'un point est donnée par un couple de nombres, les coordonnées $(x,y)$. Le premier nombre du couple correspond à la position horizontale du point (sa valeur sur l'axe des $x$) alors que le deuxième nombre correspond à sa position verticale (sa valeur sur l'axe des $y$).

Ainsi, lorsqu'on veut situer un point dans un plan cartésien on commence toujours par identifier la valeur de l'axe horizontal, la coordonnée $x$, suivie par la valeur de l'axe vertical, la coordonnée $y$. On écrit le couple entre parenthèses en le séparant par une virgule:

$couple=(valeurde{l}^{\prime }axehorizontal,valeurde{l}^{\prime }axevertical)=(x,y)$
Si on veut connaître les coordonnées d'un point dans le plan cartésien, on peut procéder de la façon suivante.

Quelle est la coordonnée de ce point?


On commence par lire la valeur de l'axe horizontal, l'axe des $x$. Ici on se déplace de 2 unités vers la droite.


Par la suite, on lit la valeur de l'axe vertical, l'axe des $y$. On se déplace de 3 unités vers le haut pour se rendre jusqu'au point.


Les coordonnées de ce point sont $(2,3)$

Pour se situer dans le plan cartésien avec les 4 quadrants, on utilise la même technique que celle utiliser pour se repérer dans le quadrant 1. Cependant, on doit tenir compte du signe positif et négatif des coordonnées.

LES VIDÉOS

Les droites et demi-plans

En géométrie, une droite est une ligne formée d'une infinité de points alignés.

Une droite, représentée dans un plan cartésien, peut être horizontale, verticale ou oblique.
    

Un demi-plan représente quant à lui une portion d’un plan délimitée par une droite sur ce plan.

Le demi-plan représente donc une des deux sections qui est délimitée par une droite dans un plan cartésien. Il s'agit en fait de la représentation graphique de l'ensemble-solution d'une inéquation du premier degré à deux inconnues.

La partie ombragée sur le graphique ci-dessous représente un demi-plan:

À partir de ces termes, il est possible de trouver des relations entre des points et des droites dans un plan cartésien.

• La distance entre deux points dans un plan cartésien
• Le point de partage d'un segment
• La pente d'une droite
• Les formes d'équations d'une droite
• La recherche de l'équation d'une droite à partir de coordonnées et/ou de la pente
• La position relative de deux droites
• La recherche de l'équation d'une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre
• La distance d'un point à une droite dans un plan cartésien
• La distance entre deux droites parallèles
• La représentation graphique d'une droite
• La démonstration en géométrie analytique