Géométrie analytique

La géométrie analytique est un domaine d'étude des figures géométriques dans le plan cartésien ou encore dans le plan en trois dimensions, au moyen de calculs algébriques, d'un système de coordonnées et de représentations graphiques.
La géométrie analytique est la branche de la géométrie qui fait le pont entre celle-ci et l'algèbre et qui permet de représenter des objets géométriques à l’aide d’équations et d’inéquations. Elle implique donc de travailler à l'aide de représentations dans un plan cartésien.

La géométrie analytique fait l'étude des points et des droites situés dans un plan cartésien et des transformations géométriques qu'il est possible d'y produire. Elle permet aussi d'étudier des équations produites lorsqu'un plan coupe une surface conique. Finalement, par la trigonométrie, la géométrie analytique détermine la position d'un point sur un cercle en fonction de son angle au centre.

Le plan cartésien

Le plan cartésien est une surface plane définie par l'intersection deux droites numériques perpendiculaires.

Ce système permet entre autres de repérer des points dans le plan et de représenter une relation entre deux variables.

• La composition d'un plan cartésien
• L'axe horizontal
• L'axe vertical
• L'origine
• Les quadrants
• L'abscisse et l'ordonnée à l'origine
• Le repérage dans le plan cartésien
• Exerciseur sur le plan cartésien

La composition d'un plan cartésien

Un plan cartésien se compose de plusieurs caractéristique:

$\bullet$ Le plan cartésien est d'abord défini par 2 axes perpendiculaires: l'axe des abscisses (les $x$) qui est horizontal et l'axe des ordonnées (les $y$) qui est vertical.

$\bullet$ Les deux axes se croisent à l'origine, c'est-à-dire au point $(0,0)$.

$\bullet$ Le plan cartésien est alors divisé en 4 sections que l'on nomme les quadrants.

L'axe horizontal

L'axe horizontal d'un plan cartésien se nomme l'axe des abscisses, ou l'axe des $x$.  Cet axe gradué est orienté de la gauche vers la droite dans le plan cartésien. On y indique la valeur de la variable indépendante dans une relation entre deux variables.

Sur l'axe horizontal:

1. À la droite de l'origine (du zéro), les nombres sont positifs. 
2. À la gauche de l'origine (du zéro), les nombres sont négatifs.

L'axe vertical

L'axe vertical d'un plan cartésien se nomme l'axe des ordonnées, ou l'axe des $y$. Cet axe gradué est orienté du bas vers le haut du plan cartésien. On y indique la valeur de la variable dépendante dans une relation entre deux variables.

Sur l'axe vertical:

1. En haut de l'origine (du zéro), les nombres sont positifs.
2. En bas de l'origine (du zéro), les nombres sont négatifs.

L'origine

L'origine du plan cartésien est l'endroit où les droites numériques perpendiculaires se croisent. Elle se note par le couple $(0,0)$.

Les quadrants

Les quadrants correspondent aux 4 régions délimitées par les axes. Les quatre quadrants sont numérotés dans le sens antihoraire comme dans le plan cartésien suivant.

L'abscisse et l'ordonnée à l'origine

L’abscisse à l’origine est la valeur de l'abscisse (le $x$) lorsque l'ordonnée (le $y$) vaut zéro. Autrement dit, c'est l'endroit sur le graphique où la droite croise l'axe des abscisses.

L’ordonnée à l’origine est la valeur de l'ordonnée (le $y$) lorsque l'abscisse (le $x$) vaut zéro. Autrement dit, c'est l'endroit sur le graphique où la droite croise l'axe des ordonnées.

Le repérage dans le plan cartésien

La graduation des axes du plan cartésien permet de situer des points dans l'un ou l'autre des 4 quadrants. La position d'un point est donnée par un couple de nombres, les coordonnées $(x,y)$. Le premier nombre du couple correspond à la position horizontale du point (sa valeur sur l'axe des $x$) alors que le deuxième nombre correspond à sa position verticale (sa valeur sur l'axe des $y$).

Ainsi, lorsqu'on veut situer un point dans un plan cartésien on commence toujours par identifier la valeur de l'axe horizontal, la coordonnée $x$, suivie par la valeur de l'axe vertical, la coordonnée $y$. On écrit le couple entre parenthèses en le séparant par une virgule:

$couple=(valeurde{l}^{\prime }axehorizontal,valeurde{l}^{\prime }axevertical)=(x,y)$
Si on veut connaître les coordonnées d'un point dans le plan cartésien, on peut procéder de la façon suivante.

Quelle est la coordonnée de ce point?


On commence par lire la valeur de l'axe horizontal, l'axe des $x$. Ici on se déplace de 2 unités vers la droite.


Par la suite, on lit la valeur de l'axe vertical, l'axe des $y$. On se déplace de 3 unités vers le haut pour se rendre jusqu'au point.


Les coordonnées de ce point sont $(2,3)$

Pour se situer dans le plan cartésien avec les 4 quadrants, on utilise la même technique que celle utiliser pour se repérer dans le quadrant 1. Cependant, on doit tenir compte du signe positif et négatif des coordonnées.

LES VIDÉOS

Les droites et demi-plans

En géométrie, une droite est une ligne formée d'une infinité de points alignés.

Une droite, représentée dans un plan cartésien, peut être horizontale, verticale ou oblique.
    

Un demi-plan représente quant à lui une portion d’un plan délimitée par une droite sur ce plan.

Le demi-plan représente donc une des deux sections qui est délimitée par une droite dans un plan cartésien. Il s'agit en fait de la représentation graphique de l'ensemble-solution d'une inéquation du premier degré à deux inconnues.

La partie ombragée sur le graphique ci-dessous représente un demi-plan:

À partir de ces termes, il est possible de trouver des relations entre des points et des droites dans un plan cartésien.

• La distance entre deux points dans un plan cartésien
• Le point de partage d'un segment
• La pente d'une droite
• Les formes d'équations d'une droite
• La recherche de l'équation d'une droite à partir de coordonnées et/ou de la pente
• La position relative de deux droites
• La recherche de l'équation d'une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre
• La distance d'un point à une droite dans un plan cartésien
• La distance entre deux droites parallèles
• La représentation graphique d'une droite
• La démonstration en géométrie analytique

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Trucs pour s'améliorer en anglais

Il existe des solutions pour améliorer son anglais. Cependant, quelques efforts seront nécessaires, car les trucs miraculeux qui nous transforment en champions de la langue anglaise n'existent pas.

Tous les conseils transmis à l'intérieur de cette fiche pourraient se résumer à un seul : pratiquer le plus possible, et ce, dans des contextes de communication variés.

L'anglais, une langue à apprivoiser

L’apprentissage de l’anglais n’est pas simple pour plusieurs. En effet, la maîtrise de l’orthographe peut être longue et laborieuse du fait que le système qui régit une langue seconde peut être différent de celui de la langue maternelle : l’orthographe des mots change, on n’utilise pas les mêmes lettres/accents pour produire un son semblable, la grammaire de la phrase peut différer, des temps de verbes sont nouveaux, etc.

Ce que tu peux faire concrètement au quotidien

1. Lis souvent pendant de courtes durées des textes en anglais sur des sujets qui t'intéressent. Lire est un excellent exercice pour développer son vocabulaire, la syntaxe de ses phrases, etc.

2. Si c'est possible, demande à l'un de tes parents, de tes amis, de tes frères ou soeurs, de te donner une courte dictée en anglais (2 ou 3 phrases).

3. Découvre la culture anglophone et sa grande diversité. Si tu écoutes souvent de la musique en anglais, tente de traduire certaines chansons que tu apprécies particulièrement. De plus, d'excellentes téléséries existent en anglais, et ce, sur des thèmes très variés. Choisis-en une que tu pourras intégrer dans ta routine de semaine. Voilà une excellente façon d'apprendre tout en te divertissant.

4. Écoute des films en anglais. L'avantage avec un DVD, c'est qu'il est possible d'ajouter des sous-titres facilitant la compréhension. Opte pour les sous-titres en anglais. Tu peux également écouter le film dans un premier temps en français pour ensuite l'écouter en anglais sans mettre les sous-titres.

5. Propose à ta famille des moments de conversation anglaise. Le souper est un moment propice pour s'exercer dans une autre langue puisque c'est souvent là que l'on parle du déroulement de sa journée.

6. Étudie souvent, même si ce n'est que pendant de courtes durées (15 minutes environ par soir). La maîtrise par coeur des verbes irréguliers par exemple assure une excellente base afin de développer sa compétence à parler en anglais.

7. Participe en classe et n'aie pas peur de t'exprimer en anglais, même si c'est parfois gênant. Avec le temps, tu gagneras en confiance et tu développeras ta capacité à communiquer dans cette langue.

Stratégies pour soutenir la compréhension en lecture

Lire en anglais, cela peut être ardu, surtout quand on éprouve certaines difficultés. Il ne faut toutefois pas se décourager, des stratégies existent. Ce qu'il faut d'abord et avant tout dans une lecture, c'est cibler les mot-clés et s'assurer que leur sens ne nous échappe pas.

1. Sois attentif aux mots-amis (que l'on appelle cognates - des mots anglais dont la graphie est très similiaire et dont le sens est identique à des mots français: aggressive, apartment,address, companies, dance, exercise, etc.); ils t'aideront rapidement à mieux comprendre.

2. Observer attentivement la composition des mots (policeman, boyfriend, bedroom,haircut, etc.) pourrait t'amener à découvrir facilement leur sens.

3. Si les deux stratégies précédentes ne te permettent pas de comprendre le sens d'un mot important, consulte un dictionnaire (des dictionnaires en ligne peuvent à cet effet t'être aussi très utiles).

Il n'est pas nécessaire de comprendre tous les mots que tu lis pour dégager le sens général d'un texte. D'autant plus que chercher tous les mots dans le dictionnaire pourrait avoir pour effet de te décourager.

LES EXERCICES

Site favorisant l'apprentissage de l'anglais langue seconde au primaire
Site complet pour l'apprentissage de l'anglaisApprendre l'anglais simplement et en s'amusant
Textes avec questions en anglais
Jeux gratuits pour apprendre l'anglais
Jeux de vocabulaire pour apprendre l'anglais

LES RÉFÉRENCES

Cours d'anglais gratuits en ligne
Banque d'histoires audio en anglais
Banque d'histoires en anglais illustrées
Dictionnaire français-anglais Larousse
Google traduction
Traducteur de langues en ligne

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Les types de variables

Une variable est une lettre à laquelle on peut attribuer différentes valeurs.

En algèbre, on tente de généraliser les calculs en remplaçant très souvent les nombres par des lettres. Ces lettres se nomment des variables. Une variable peut être représentée par n'importe quelle lettre de l'alphabet.

a²4b⁴ - 3c
y + z

Dans ces expressions algébriques, les lettres a, b, c, y et z sont des variables. 
Il existe différents types de variables:

• Les variables quantitatives
• Les variables quantitatives continues
• Les variables quantitatives discrètes
• Les variables qualitatives
• Les variables dépendantes et indépendantes

Les variables quantitatives

Une variable quantitative est une variable qui peut être exprimée par un nombre, une quantité.
$\bullet$ Le nombre de pattes d’une sauterelle
$\bullet$ L’âge d'une personne arrondi à l'année
$\bullet$ La masse corporelle
$\bullet$ Le nombre de femmes qui ont voté lors des dernières élections
$\bullet$ Le temps pris pour effectuer un trajet en voiture

Ces variables quantitatives peuvent être divisées en deux sous-catégories: les variables continues et les variables discrètes.

Une variable continue est une variable qui peut prendre toutes les valeurs possibles d'un intervalle de nombres réels.

Dans la liste ci-dessus, on retrouve deux variables continues:
$\bullet$ La masse corporelle peut admettre toutes les divisions des kilogrammes et des grammes.
$\bullet$ Le temps pris pour effectuer un trajet en voiture n'est pas compté qu'en heures. Il admet aussi toutes les minutes et les secondes.

Une variable discrète est une variable qui peut prendre uniquement certaines valeurs d'un intervalle de nombres réels. Généralement, les valeurs admissibles ne sont que les nombres entiers.

Dans la liste ci-dessus, on retrouve trois variables discrètes:
$\bullet$ Le nombre de pattes d'une sauterelle ne peut admettre que des nombres entiers comme valeur.
$\bullet$ L'âge d'une personne arrondi à l'année ne peut admettre que des nombres entiers comme valeur.
$\bullet$ Le nombre de femmes qui ont voté lors des dernières élections ne peut admettre que des nombres entiers comme valeur.

Les variables discrètes et continues

Les variables qualitatives

Une variable qualitative exprime une valeur qui ne représente pas une quantité.

Au lieu de quantifier une grandeur comme dans le cas d'une variable quantitative, une variable qualitative la confère une qualité, un qualificatif.

$\bullet$ La couleur des yeux
$\bullet$ L’état civil
$\bullet$ Le sexe d'une personne
$\bullet$ Le numéro d'abonnement à une bibliothèque

Les variables dépendantes et indépendantes.

$\bullet$ Une variable indépendante dans un problème est le paramètre qui varie sans être influencé par les autres paramètres du problème. En général, on représente la variable indépendante par la lettre «x».

$\bullet$ Une variable dépendante dans un problème est le paramètre du problème qui varie sous l'influence de la variable indépendante. En général, on représente la variable dépendante par la lettre «y».

Le lien entre une variable dépendante et une variable indépendante est appelé relation. On peut illustrer cette relation de diverses manière. Par exemple, dans un plan cartésien, la variable indépendante est associée à l'axe des abscisses (l'axe des x) alors que la variable dépendante est associée à l'axe des ordonnées (l'axe des y).

La relation entre les variables dépendantes et indépendantes peut aussi être représentée par l'établissement d'une fonction algébrique. Étant donné que plusieurs types de relations existent, il existe différents types de fonction.

Vidéo sur les variables dépendantes et indépendantes

LES EXERCICES

Exercices: Identifier les variables dépendantes et indépendantes

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