Introduction
En mathématiques, pour trouver les racines d'un polynôme il existe principalement 4 méthodes :
- la méthode complète qui consiste à exprimer les valeurs exactes des racines sous forme de fractions et radicaux en passant (notamment) par le discriminant delta
- la méthode par transformation qui consiste à réécrire le polynôme sous une autre forme (factorisation si on connaît déjà une racine, forme canonique, changement de variable, etc.)
- la méthode par analyse qui donne une valeur approchée des racines en analysant la courbe représentative de la fonction polynôme
- la méthode alternative, moins connue et utilisée dans certains tours de magie par les calculateurs prodiges, qui permet de donner rapidement les valeurs exactes des racines, quel que soit le degré du polynome, à partir du moment où ce dernier répond à certains critères particuliers
Nous allons voir ici seulement la méthode alternative, ou plutôt les méthodes alternatives, qui permettent, dans certains cas particuliers de trouver instantanément les valeurs exactes des racines d'un polynôme de degré quelconque sans passer par la méthode complète.
Lorsqu'on parle de recherche les racines d'un polynôme on pense tout de suite à Delta, c'est-à-dire à la méthode complète. Pourtant, les méthodes alternatives présentées ici, permettent dans la plupart des cas d'obtenir bien plus rapidement les racines, y compris dans des polynôme de degré supérieur à 2, tout en démontrant que l'on maîtrise les propriétés des polynômes.
Définitions et conventions utilisées
L'écriture générale d'un polynome est :
Détails des différents éléments de cette expression :
Dans tout ce qui suit lorsque je parlerai de "polynôme", je parle en fait de la fonction polynôme et non d'un polynome en tant qu'objet mathématique (qui aurait pu être vu comme un élément pris dans un espace vectoriel). Cette remarque s'adresse en particulier aux mathématiciens puristes, s'il y en a parmi vous.
Rappel concernant la propriété fondamentale des polynômes
Cette remarque est en contradiction avec ce qu'on a dû vous apprendre au lycée, puisqu'on a vous a appris que la factorisation d'un polynôme n'est possible que dans le cas où les racines sont réelles (delta positif, pour un polynôme de degré 2).
Pourtant, la factorisation est aussi possible dans le cas où les racines sont complexes, à condition de garder en mémoires les remarques suivantes :
- un polynôme de degré impair a toujours au moins 1 racines réelles : les autres sont soit réelles, soit complexes conjuguées deux à deux
- un polynôme de degrés pair peut avoir soit des racines réelles, soit des racines complexes conjuguées deux à deux
Par exemple pour un polynôme de degré 3, il y a forcément 1 racine réelle. Les deux autres racines sont soit réelles toutes les deux, soit complexes conjuguées.
Un polynôme de degré 4 peut avoir :
- soit 4 racines réelles
- soit 2 racines réelles et 2 racines complexes, les deux racines complexes étant conjuguées
- soit 4 racines complexes, conjuguées deux à deux (par exemple 3+2i et 3-2i et puis 7+5i et 7-5i)
Mais il est impossible d'obtenir un polynôme de degré 2 à coefficient réels dont les racines sont 3+2i et 7+5i (ces racines n'étant pas des complexes conjugués).
J'appelle propriété fondamentale des polynômes le fait qu'un polynôme puisse toujours s'écrire sous la forme factorisée suivante, faisant apparaîte chacune de ses racines : 
Conséquence de la propriété fondamentale des polynômes
Voici, sans la démontrer, la conséquence de la propriété fondamentale des polynômes. Cette conséquence, qui s'écrit sous forme de 2 affirmations, est la base des méthodes de recherche alternatives des racines :
Avant d'attaquer la recherche de racines dans des cas concrets, voici quelques informations complémentaires, ainsi que les conditions dans lesquelles nous allons nous placer pour appliquer les méthodes alternatives.
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Polynôme unitaire
On appelle polynôme unitaire un polynôme dont le coefficient du monôme de plus haut degré vaut 1.
Les polynômes suivants sont des polynômes unitaires (car a = 1) :
Equation algébrique
On appelle équation algébrique une équation de la forme P(x)=0 où P est un polynôme.
Exemple d'équations algébriques :
Remarque : toute équation algébrique peut se mettre sous la forme P(x) = 0, où P(x) est un polynôme unitaire. Il suffit pour cela de diviser les deux membres de l'équation algébrique par le coefficient du monôme de plus haut degré (le coefficient a). Exemple :
Trouver les solutions d'une équation algébrique revient donc à déterminer les racines d'un polynôme unitaire.
Nombres algébriques et nombres transcendants
Le nombre x est un nombre algébrique s'il existe un polynôme P à coefficients rationnels tel que P(x)=0. Autrement dit, un nombre (réel ou complexe) qui est une solution d'une équation algébrique est un nombre algébrique : toute racine d'un polynôme à coefficients rationnels est un nombre algébrique. Mais un nombre algébrique n'est pas forcément réel. Par exemple le nombre complexe i est algébrique puis qu'il est la solution d'une équation algébrique à coefficents rationnels.
Un nombre algébrique est donc un nombre "solution d'une équation algébrique", et peut être soit réel soit complexe.
Nous pouvons constater que tout nombre entier ou rationnel est un nombre algébrique (car le nombre rationnel p/q sera toujours solution de l'équation algébrique q.x-p=0), mais que certains nombres réels ne sont pas algébriques (c'est le cas par exemple du nombre Pi=3,14159265358979...).
Un nombre (réel ou complexe) qui n'est pas algébrique est appelé un nombre transcendant.
Un nombre transcendant est donc un nombre "non-algébrique", et peut être soit réel soit complexe.
Conditions d'application des méthodes alternatives de recherche des racines d'un polynôme
Dans tout ce qui suit nous ne considèrerons que les polynômes répondant aux conditions suivantes :
- le degré du polynôme est quelconque
- les racines du polynôme sont toutes des nombre entiers relatifs (donc non complexes)
- le polynôme est unitaire : le coefficient a du monôme de plus haut degré vaut 1
Dans ces conditions, puisque le coefficient a=1, la conséquence de la propriété fondamentale des polynômes s'écrit :
la somme de toutes les racines = - b
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Et maintenant, appliquons tout ça dans des exemples concrets ... C'est parti !
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